APLICACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Una avioneta parte de Buenaventura a Pasto recorriendo 300km. y luego se dirige a Mitú, la cual está a 750 km. ¿Qué distancia hay de Mitú a Buenaventura?. 

Se observa que la ruta que sigue la avioneta describe un triángulo rectángulo. (Se ignorará la curvatura de la Tierra)

Los datos que se tienen del triángulo son:

Se puede observar que:
a) Se desconocen tres elementos del triángulo,
b) Al hallar la longitud del lado p, se dará respuesta a la pregunta planteada en el problema, esto se puede hacer por el Teorema de Pitágoras. Así:

 

Así se completa la información de los seis elementos del triángulo rectángulo que se forma en el enunciado del problema.

EJEMPLO Nº 2:

Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Solución:

Se tienen los siguientes datos:

a. El ángulo de la base del triángulo es 30º puesto que la linea horizontal y el suelo son paralelos.
b. La altura del faro es de 7m y representa el cateto opuesto del triángulo que se forma.
c. x es el valor desconocido que corresponde a la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Por lo tanto:

 Respuesta: La distancia desde la cima del faro hasta el barco es de 14 m.

Nota: En este tipo de problemas se utiliza la razón trigonométrica más apropiada para resolver y darle respuesta al cuestionamiento, esto de acuerdo a los datos que nos de el ejercicio.

APLICACIONES

La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser

el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para
luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en
esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que
se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad
constante en la circunferencia de radio a (con el sentido invariable)

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Pitágoras es muy conocido, teniendo en cuenta que no publicó ningún escrito durante su vida. Lo que sabemos de Pitágoras ha llegado a través de otros filósofos e historiadores. Pitágoras fue un filósofo y matemático griego conocido por introducir el Teorema que lleva su nombre, que indica que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el equivalente a la suma del cuadrado de los catetos. El teorema no es sólo un postulado geométrico; también tiene aplicaciones en el mundo real.

Arquitectura y construcción

La aplicación más obvia del Teorema de Pitágoras es en el mundo de la arquitectura y de la construcción, particularmente en referencia a tejados con formas triangulares y hastiales. El teorema se aplica sólo cuando se trabaja con triángulos rectángulos o triángulos con ángulos de 90 grados.

Navegación

La triangulación es un método usado para señalar una localización cuando se conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre un ángulo de 90 grados, se usa el Teorema de Pitágoras. Los celulares pueden rastrearse por triangulación. Los sistemas de navegación de vehículo usan este método. Puede usarse también junto con una brújula para determinar una localización geográfica. NASA también usa la triangulación para determinar la posición de las naves espaciales. La NASA envía una señal a la nave, la cual la devuelva. La triangulación usa estos números para calcular la posición de la nave en el espacio.

Localización de un terremoto

Los geólogos también usan el Teorema de Pitágoras cuando sigue la actividad de un terremoto. Estos resultan de dos tipos de ondas: una que es más lenta que la otra. Triangulando la distancia que viaja la onda más rápida con la de la onda más lenta, los geólogos pueden determinar el centro o la fuente del terremoto.

Investigación de la escena de un crimen

Los investigadores forenses usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria de una bala. Esta muestra el camino de la bala antes de impactar. Esta trayectoria le dice a la policía el área de donde salió el proyectil. Los investigadores pueden también saberlo cerca que estaba el tirador de la víctima, lo que puede ayudar a la policía a determinar si fue un suicidio o un homicidio. El riego de sangre puede analizarse también con el Teorema de Pitágoras. Este rastro es el chorro de sangre de una víctima después del asalto. La policía usa estos cálculos para determinar el ángulo del impacto y las posiciones de la víctima y del asaltante durante la agresión.

Trayectoria de un misil o de una bala

Los arqueros usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria correcta necesaria para dar en el blanco. Si los cálculos son exactos, la flecha dará en el mismo. Si no, podría caer antes o errar la marca deseada. Los sistema de misiles guiados usan un método similar para dar con exactitud sobre un objetivo.

LOS ANGULOS

Los ángulos

 

   1. Ángulo. Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

   El ángulo del dibujo superior tiene dos lados: BC y BA.

   El origen de las dos semirrectas es el vértice B.

   Este ángulo se lee ABC, nombrando el vértice en el medio.

---

   2. El ángulo recto

   En la figura de la izquierda hay dos ángulos: ABC y CBD; la suma de los dos es ABD. Los dos ángulos son agudos.

   En la figura de la derecha vemos dos rectas CD y EF que se cortan en el punto O. En este caso las dos rectas son perpendiculares y forman cuatro ángulos rectos como el EOD. El ángulo agudo es menor que el recto.

---

   3. Clases de ángulos

   El ángulo menor que el recto se llama agudo, como el A; el ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares y mide 90 grados, como el B; el obtuso es mayor que el recto, como el C.

   El ángulo que vale dos rectos se llama ángulo llano, como el D;  el que vale más de dos rectos se llama cóncavo, como el E y el ángulo que vale cuatro rectos es un ángulo completo, como el F.

  

---

---

   4. Ángulos consecutivos y adyacentes

   Dos ángulos consecutivos son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común entre ellos.

   Ejemplo: Los ángulos AOB y BOC con consecutivos y el lado común es OB.

   Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes están en la misma recta.

   Ejemplo: Los ángulos POS y POR son adyacentes

IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE ÁNGULOS
Desde la antigüedad la rueda ha tenido infinidad de usos y aplicaciones, la utilización de dicho instrumento ha creado la necesidad de medir su longitud pero también se ha tenido la necesidad de dividir dicho cuerpo en muchas partes, incluso exactas. A lo largo de la historia, la medición de circunferencias ha sido una necesidad para crear instrumentos de trabajo, máquinas, construcciones y muchos más objetos que facilitan el trabajo del hombre.
La medición de ángulos ha sido de gran ayuda para el hombre, desde crear un simple engrane que formará parte de una máquina hasta crear incluso un rascacielos. Es en arquitectura y diseño donde se han planteado mediciones más precisas, donde el objetivo es conseguir la exactitud de estas; es también en estas áreas donde se han creado dos patrones de medición, los cuales son el grado (°) y el radián (π). Una circunferencia medida en grados esta dada por 360 unidades, mientras que medida en radianes es equivalente a 6.2832 unidades aproximadamente, ya que el radián comprende la longitud de dos radios en una circunferencia que forman un ángulo y el arco de dicho ángulo, el cual debe tener la misma longitud del radio. 
La medición de ángulos tiene aplicación en varias áreas de trabajo como el diseño, la confección, técnicas mecánicas, construcción y muchas más. No solo la geometría utiliza la medición de dichos cuerpos, también hay ciencias independientes como la física que la utiliza en suma de vectores, por mencionar un ejemplo.
Otra aplicación independiente de las citadas con anterioridad es el sentido de orientación para algunos transportes como los aéreos y marítimos. Por ejemplo, en una torre de control de aeropuerto además de coordenadas, se usan grados para ordenar una dirección o inclinación de las naves

JUEGO MATEMÁTICO...

http://juegosdelogica.net/mentales/mentales.php
http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/juego_espacio.php
http://www.usaelcoco.com/

LA SABIDURÍA... REGALO DE DIOS

Proverbios 2:6-7

Reina-Valera 1960 (RVR1960)

6 Porqué Jehová da la Sabiduría, 
Y de Su boca Viene el Conocimiento y la Inteligencia.

7 El ProVee De sana SABIDURIA A Los rectos; 
Es escudos a Los Que caminan rectamente.

La llamada a “Guardar” el corazón  es una llamada a “ CONTROLAR  “ todo lo que fluyen o brotan de  lo más profundo de nuestro ser, ya que INFLUYE positivamente, pero también NEGATIVAMENTE tanto en nuestra vida personal, como en nuestra relación con Dios y también con los demás

Dice Salomón: La sabiduría y el buen juicio(cordura)viven juntos(8:12)  Ayudan a mantener UNA  Vida EQUILIBRADA  
b.-).- Para ser sabios debemos Vigilar nuestra Comunicación(cuidar nuestra boca vs 24)
a).- Debemos SEPARAR de nuestro vocabulario todo aquello  que sean críticas, ofensas mal intencionadas, calumnias “Perversas”  (vs 24A) – (Prov.10:31)
Dicho de otra manera “ La Boca del sabio habla VERDAD, más la del necioMALDAD  es despreciada”..

b).- Debemos ALEJAR (distanciarnos)del vocabulario de los incrédulos(iniquidad- en el sentido de pecado)(vers 24B)   
INTERESANTE: Proceso 1º. Separar  y 2º.- Alejar

Enseñanza para nosotros

Es una llamada a  “RECHAZAR”  determinada “forma de hablar” para que  no se NOS PEGUE. Con FACILIDAD.(Pr 26:4)  
3º.- La Sabiduría hay que Retenerla 25-26-27
 
Dios llama bienaventurados a aquellos que RETIENEN LA SABIDURÍA,(Pr 3:18). Podemos considerar que :
a) Para ser sabios debemos Vigilar nuestra Percepción Visual(vs 25) vs 25). .Vigilar como utilizamos nuestra capacidad visual en relación a nuestra conducta.    
La percepción visual: Es la Capacidad de captar la realidad que nos rodea . 
a).- Ser Sabios A través de Mantener una Visión clara de la Voluntad de Dios (vs 25A) “ A través de la OBEDIENCIA.  
b).- Ser sabios Manteniendo los Ojos bien Abiertos (vers 25B)

Enseñanza para nosotros

Es una Llamada a ser BUENOS OBSERVADORES y estar  EXPECTANTES (Pr 6:4)
 
b).- Para Retener la Sabiduría debemos Vigilar nuestra Conducta (26 y 27)
El discernimiento espiritual Es la capacidad de tomar decisiones  que están en armonía con la Voluntad de Dios.
Vers 26:  ¿ Donde pisamos y Como pisamos?.  En otras palabras:

Examina “la senda”. El camino por el que estás llevando tu vida
Es una llamada a EVALUAR ¿Qué decisiones tomamos y Como las llevamos a cabo? De ahí la importancia del retener la Sabiduría para  saber Discernir “lo Correcto”   
¿ Porqué es importante hacerlo?(Pr. 5:21) Dios también nos evalúa 
Vers 27: No basta solo en tomar decisiones SABIAS, se deben llevar a cabo también SABIAMENTE.
En la vida cristiana “Buscar los atajos y el camino fácil”, no nos proporciona ninguna ventaja, sino todo lo contrario “Hay que RECTIFICAR  o lo que es lo mismo volver atrás al punto de partida  y comenzar de nuevo”.
Es una LLAMADA a EVITAR DESVIARSE. A no llevar una vida mundana como la que lleva EL NECIO. (Pr.3:35)
La Sabiduría nos hace tener UNA VISION CLARA de ¿Cuál es nuestra meta en la vida ? Y nos proporciona EL DISCERNIMIENTO  para ALCANZARLA 
El que actúa con Sabiduría RECIBE bendición de Dios ( Pr.3:13-15)
Recordemos que la SABIDURÍA hemos de:
1).- Hemos de HALLARLA
2).- HEMOS DE ADQUIRIRLA

3).- HEMOS DE APLICARLA

4).- HEMOS DE RETENERLA  

La conclusión a la que la Palabra de Dios nos lleva es que: La Dirección que tome tu vida, mi vida, dependerá en gran parte de cómo 1).- Busque -  como  2).- Adquiera, como 3).- Aplique y como 4).- Retengamos para nuestra vida la Sabiduría de Dios

LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS...

ESTRATEGIAS PARA MEJORAR EL PENSAMIENTO MATEMATICO

Pensamiento Matemático

La inteligencia lógico matemática, tiene que ver con la habilidad de trabajar y pensar en términos de números y la capacidad de emplear el razonamiento lógico.

Pero este tipo de inteligencia va mucho más allá de las capacidades numéricas, nos aporta importantes beneficios como la capacidad de entender conceptos y establecer relaciones basadas en la lógica de forma esquemática y técnica. Implica la capacidad de utilizar de manera casi natural el cálculo, las cuantificaciones, proposiciones o hipótesis.

Todos nacemos con la capacidad de desarrollar este tipo de inteligencia. Las diferentes capacidades en este sentido van a depender de la estimulación recibida. Es importante saber que estas capacidades se pueden y deben entrenar, con una estimulación adecuada se consiguen importantes logros y beneficios.

¿Por qué es importante desarrollar el pensamiento matemático?

El pensamiento lógico matemático incluye cálculos matemáticos, pensamiento numérico, solucionar problemas, para comprender conceptos abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones. Todas estas habilidades van mucho más allá de las matemáticas entendidas como tales, los beneficios de este tipo de pensamiento contribuyen a un desarrollo sano en muchos aspectos y consecución de las metas y logros personales, y con ello al éxito personal. La inteligencia lógico matemática contribuye a:

• Desarrollo del pensamiento y de la inteligencia.
• Capacidad de solucionar problemas en diferentes ámbitos de la vida, formulando hipótesis y estableciendo predicciones.
• Fomenta la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo.
• Permite establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensión más profunda.
• Proporciona orden y sentido a las acciones y/o decisiones.

10 Estrategias para estimular el desarrollo del pensamiento matemático.

La estimulación adecuada desde una edad temprana favorecerá el desarrollo fácil y sin esfuerzo de la inteligencia lógico matemática y permitirá al niño/a introducir estas habilidades en su vida cotidiana. Esta estimulación debe ser acorde a la edad y características de los pequeños, respetando su propio ritmo, debe ser divertida, significativa y dotada de refuerzos que la hagan agradable.

1. Permite a los niños y niñas manipular y experimentar con diferentes objetos.Deja que se den cuenta de las cualidades de los mismos, sus diferencias y semejanzas; de esta forma estarán estableciendo relaciones y razonando sin darse cuenta.
2. Emplea actividades para identificar, comparar, clasificar, seriar diferentes objetos de acuerdo con sus características.
3. Muéstrales los efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas. Por ejemplo, como al calentar el agua se produce un efecto y se crea vapor porque el agua transforma su estado.
4. Genera ambientes adecuados para la concentración y la observación.
5. Utiliza diferentes juegos que contribuyan al desarrollo de este pensamiento, como sudokus, domino, juegos de cartas, adivinanzas, etc.
6. Plantéales problemas que les supongan un reto o un esfuerzo mental. Han de motivarse con el reto, pero esta dificultad debe estar adecuada a su edad y capacidades, si es demasiado alto, se desmotivarán y puede verse dañado su auto concepto.
7. Haz que reflexionen sobre las cosas y que poco a poco vayan racionalizándolas. Para ello puedes buscar eventos inexplicables y jugar a buscar una explicación lógica.
8. Deja que manipule y emplee cantidades, en situaciones de utilidad. Puedes hacerles pensar en los precios, jugar a adivinar cuantos lápices habrá en un estuche, etc.
9. Deja que ellos solos se enfrenten a los problemas matemáticos. Puedes darles una pista o guía, pero deben ser ellos mismos los que elaboren el razonamiento que les lleve a la solución.
10. Animales a imaginar posibilidades y establecer hipótesis. Hazles preguntas del tipo ¿Qué pasaría si….?

Aplicación: Geometría

Aplicación de la Geometría en la vida diaria

La geometría representa a las matemáticas del espacio y la forma, lo cual es la base de todas las cosas que existen. Entenderla es un paso necesario para comprender cómo está construido el mundo. La mayoría de las personas tienen clases de geometría en la preparatoria y aprenden acerca de triángulos y ángulos verticales. Su aplicación en la vida real no siempre resulta evidente para los adolescentes, pero la realidad es que la geometría está infiltrada en cada faceta de nuestra vida diaria.

La geometría y los niños

La geometría generalmente no se aprende en el jardín de niños sino hasta el octavo grado, pero los niños comienzan a aprender figuras y espacios en diferentes maneras. En actividades escolares iniciales los estudiantes del jardín de niños deben colorear triángulos y círculos. Al final de la escuela primaria la mayoría de los estudiantes son capaces de hacer dibujos a escala. Los estudiantes pueden conectar ubicaciones con coordenadas, lo cual corresponde a la geometría analítica. Las habilidades de visualización y razonamiento espacial ayudan a los estudiantes a resolver problemas.

La geometría y las computadoras

Los gráficos de las computadoras y el diseño computacional se basan en la geometría. Las figuras geométricas se usan para construir imágenes. En robótica, la geometría se usa para planear la forma de mover objetos sin colisiones. En la medicina la forma de un tumor se reconstruye mediante un escaneo de TAC. Los diseños de ingeniería estructural para edificios primero se generan por computadora. El modelado de proteínas involucra el uso de la geometría para replicar las imágenes de las proteínas. Los científicos diseñan medicamentos para cambiar la forma o movimiento de las proteínas y así curar enfermedades.

La geometría en el mundo real

En el mundo real la geometría se encuentra por todas partes. Algunos ejemplos son los edificios, aviones, automóviles y mapas. Las casas están hechas de estructuras geométricas básicas. Algunos rascacielos tienen ventanas hechas de rectángulos y cuadrados. La torre John Hancock en Chicago está creada con un enorme cubo. En un automóvil, las llantas y luces son circulares. Las grandes pirámides de Egipto están hechas de figuras geométricas.

La simetría en la ciencia

La simetría es un sentido de armonía, proporción y balance. Esta refleja belleza y perfección. En un sentido científico la simetría está definida como un sentido de auto-similitud a través de reglas de un sistema formal, como la geometría o la física. La simetría es el concepto básico en el estudio de la biología, química y física. Los sistemas de leyes en la física y las moléculas en la química estéreo reflejan los conceptos de la geometría. Algunos tienen dificultadas para entender cómo se relaciona la geometría con las ciencias. Desde la década de 1870, el estudio de la transformación y la simetría relacionada es paralelo a los estudios geométricos.

Aplicación: Función Lineal

Función Lineal

Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

 Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a  a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4

Observa cómo se resuelven los siguientes ejercicios:

1. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas.

Realiza una tabla para la anterior función y grafícala.

¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Solución:

Primero realizamos la tabla.

x (tiemp en horas)	y (Kg algodón)
0.5	0
1	15
1.5	30
2	45

 y luego graficamos

.

Ahora para saber cuanto algodón se recoge en 8 horas:

y = 30x – 15    para x = 8 necesitamos hallar el valor de y

para eso remplazamos a la x por su valor que es 8 y nos queda


y = 30(8) – 15 = 240 - 15 = 225    (recuerda que 30(8) es un producto)
y = 225 Kg


La cantidad de algodón recogido en ocho horas es de 225 kg

2. Por el alquiler de un coche cobran una cuota fija de 20.000 pesos y adicionalmente 3.000 pesos por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica que representa esta función y grafícala, ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de 125 Km? y si pague un valor de 65.000 pesos ¿cuantos kilómetros recorrí?


Solución:

Primero definimos cual es la ecuación para esto tenemos en cuenta esto:

Importante: Para resolver este tipo de problemas donde nos piden hallar el valor por unidad consumida y la cuota fija usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta (m) es siempre el valor por unidad consumida y b la cuota fija.

Así m será 3.000 que es el valor por unidad (kilometro recorrido) y b es 20.000 que es la cuota fija, quedando la ecuación y = 3.000x + 20.000, ahora podemos realizar la tabla.

X (Km recorrido)	y (Valor a pagar)
0	20.000
10	50.000
20	80.000
30	110.000

Con esto la grafica nos queda así:

·    Para saber cuánto nos cuesta un recorrido de 125 Km usamos la ecuación lineal y cambiamos la variable x por el valor de 125 Km, así:

y = 3.000(125) + 20.000 = 375.000 + 20.000 = 395.000

y = 395.000

El valor en pesos a pagar por un  recorrido de 125 Km es de 395.000 pesos.

·        En este caso nos dan el valor de y (valor a pagar 65.000 pesos) y nos piden hallar el de X (kilometraje recorrido) podemos hacerlo de dos maneras.

La primera: remplazamos el valor de y en la ecuación, de lo que obtendremos.

65.000 = 3.000X + 20.000  despejando x nos queda.

65.000 – 20.000 = 3.000X        45.000 = 3.000X        45.000/3.000 = X

X = 15

La segunda: graficamos la función y cómo podemos ver en la grafica, para un valor de y igual a 65.000 tenemos un valor de X igual a 15

El kilometraje recorrido por el cual pagamos 65.000 es 15 Km.