APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometría y las funciones trigonométricas. la técnica de la triangulación se utiliza en astronomía para medir la distancia a cercanas, en geografía para medir distancias entre puntos de referencia, y en los navegación por satélite . Las funciones seno y coseno son fundamentales para funciones periódicascomo las que describen el sonido y la luz olas. Por ejemplo, las estrellas sistemas de la teoría de los campos que la trigonometría uso o las funciones trigonométricas incluyen la astronomía (sobre todo para la localización de las posiciones aparentes de los objetos celestes, en los que la trigonometría esférica es esencial) y por lo tanto la navegación (en los océanos, en los aviones, y en el espacio), teoría de la música , la acústica , la óptica , el análisis de los mercados financieros, la electrónica , teoría de la probabilidad , estadística , biología , imágenes médicas ( tomografías computarizadas y ultrasonidos ), farmacia , química , teoría de números (y por lo tanto la criptografía), sismología , meteorología , oceanografía , muchas de las ciencias físicas , la tierra topografía y la geodesia , la arquitectura , fonética , economía , ingeniería eléctrica , ingeniería mecánica , ingeniería civil , la infografía , la cartografía , la cristalografía y el desarrollo del juego.

Los conceptos que ha elaborado la trigonometria tienen aplicacion en todas las ciencias que utilizan las matematicas aplicadas. La solucion de la mayoria de los modelos matematicos que involucran mas de una ecuacion y variables, sus soluciones implican soluciones reales y complejas y las soluciones complejas utilizan en gran medida las funciones trigonometricas, especialemente las funciones senos y cosenos.

Triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.Trigonometría Proviene del griego TRIGONOS (triángulo) y METRÍA (medida). que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos. es decir. que son la trigonometría plana. Etimológicamente. que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos. y la trigonometría esférica. esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales. Es una parte de la Matemática que estudia las relaciones métricas de los elementos de un triángulo (lados y ángulos). La trigonometría. Su importancia como auxiliar de otras ciencias es muy grande. Así pues. posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. significa medida de triángulos. que se ocupa de figuras contenidas en un plano.

APLICACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Una avioneta parte de Buenaventura a Pasto recorriendo 300km. y luego se dirige a Mitú, la cual está a 750 km. ¿Qué distancia hay de Mitú a Buenaventura?. 

Se observa que la ruta que sigue la avioneta describe un triángulo rectángulo. (Se ignorará la curvatura de la Tierra)

Los datos que se tienen del triángulo son:

Se puede observar que:
a) Se desconocen tres elementos del triángulo,
b) Al hallar la longitud del lado p, se dará respuesta a la pregunta planteada en el problema, esto se puede hacer por el Teorema de Pitágoras. Así:

 

Así se completa la información de los seis elementos del triángulo rectángulo que se forma en el enunciado del problema.

EJEMPLO Nº 2:

Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Solución:

Se tienen los siguientes datos:

a. El ángulo de la base del triángulo es 30º puesto que la linea horizontal y el suelo son paralelos.
b. La altura del faro es de 7m y representa el cateto opuesto del triángulo que se forma.
c. x es el valor desconocido que corresponde a la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Por lo tanto:

 Respuesta: La distancia desde la cima del faro hasta el barco es de 14 m.

Nota: En este tipo de problemas se utiliza la razón trigonométrica más apropiada para resolver y darle respuesta al cuestionamiento, esto de acuerdo a los datos que nos de el ejercicio.

APLICACIONES

La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser

el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para
luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en
esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que
se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad
constante en la circunferencia de radio a (con el sentido invariable)

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Pitágoras es muy conocido, teniendo en cuenta que no publicó ningún escrito durante su vida. Lo que sabemos de Pitágoras ha llegado a través de otros filósofos e historiadores. Pitágoras fue un filósofo y matemático griego conocido por introducir el Teorema que lleva su nombre, que indica que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el equivalente a la suma del cuadrado de los catetos. El teorema no es sólo un postulado geométrico; también tiene aplicaciones en el mundo real.

Arquitectura y construcción

La aplicación más obvia del Teorema de Pitágoras es en el mundo de la arquitectura y de la construcción, particularmente en referencia a tejados con formas triangulares y hastiales. El teorema se aplica sólo cuando se trabaja con triángulos rectángulos o triángulos con ángulos de 90 grados.

Navegación

La triangulación es un método usado para señalar una localización cuando se conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre un ángulo de 90 grados, se usa el Teorema de Pitágoras. Los celulares pueden rastrearse por triangulación. Los sistemas de navegación de vehículo usan este método. Puede usarse también junto con una brújula para determinar una localización geográfica. NASA también usa la triangulación para determinar la posición de las naves espaciales. La NASA envía una señal a la nave, la cual la devuelva. La triangulación usa estos números para calcular la posición de la nave en el espacio.

Localización de un terremoto

Los geólogos también usan el Teorema de Pitágoras cuando sigue la actividad de un terremoto. Estos resultan de dos tipos de ondas: una que es más lenta que la otra. Triangulando la distancia que viaja la onda más rápida con la de la onda más lenta, los geólogos pueden determinar el centro o la fuente del terremoto.

Investigación de la escena de un crimen

Los investigadores forenses usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria de una bala. Esta muestra el camino de la bala antes de impactar. Esta trayectoria le dice a la policía el área de donde salió el proyectil. Los investigadores pueden también saberlo cerca que estaba el tirador de la víctima, lo que puede ayudar a la policía a determinar si fue un suicidio o un homicidio. El riego de sangre puede analizarse también con el Teorema de Pitágoras. Este rastro es el chorro de sangre de una víctima después del asalto. La policía usa estos cálculos para determinar el ángulo del impacto y las posiciones de la víctima y del asaltante durante la agresión.

Trayectoria de un misil o de una bala

Los arqueros usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria correcta necesaria para dar en el blanco. Si los cálculos son exactos, la flecha dará en el mismo. Si no, podría caer antes o errar la marca deseada. Los sistema de misiles guiados usan un método similar para dar con exactitud sobre un objetivo.

LOS ANGULOS

Los ángulos

 

   1. Ángulo. Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

   El ángulo del dibujo superior tiene dos lados: BC y BA.

   El origen de las dos semirrectas es el vértice B.

   Este ángulo se lee ABC, nombrando el vértice en el medio.

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   2. El ángulo recto

   En la figura de la izquierda hay dos ángulos: ABC y CBD; la suma de los dos es ABD. Los dos ángulos son agudos.

   En la figura de la derecha vemos dos rectas CD y EF que se cortan en el punto O. En este caso las dos rectas son perpendiculares y forman cuatro ángulos rectos como el EOD. El ángulo agudo es menor que el recto.

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   3. Clases de ángulos

   El ángulo menor que el recto se llama agudo, como el A; el ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares y mide 90 grados, como el B; el obtuso es mayor que el recto, como el C.

   El ángulo que vale dos rectos se llama ángulo llano, como el D;  el que vale más de dos rectos se llama cóncavo, como el E y el ángulo que vale cuatro rectos es un ángulo completo, como el F.

  

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   4. Ángulos consecutivos y adyacentes

   Dos ángulos consecutivos son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común entre ellos.

   Ejemplo: Los ángulos AOB y BOC con consecutivos y el lado común es OB.

   Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes están en la misma recta.

   Ejemplo: Los ángulos POS y POR son adyacentes

IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE ÁNGULOS
Desde la antigüedad la rueda ha tenido infinidad de usos y aplicaciones, la utilización de dicho instrumento ha creado la necesidad de medir su longitud pero también se ha tenido la necesidad de dividir dicho cuerpo en muchas partes, incluso exactas. A lo largo de la historia, la medición de circunferencias ha sido una necesidad para crear instrumentos de trabajo, máquinas, construcciones y muchos más objetos que facilitan el trabajo del hombre.
La medición de ángulos ha sido de gran ayuda para el hombre, desde crear un simple engrane que formará parte de una máquina hasta crear incluso un rascacielos. Es en arquitectura y diseño donde se han planteado mediciones más precisas, donde el objetivo es conseguir la exactitud de estas; es también en estas áreas donde se han creado dos patrones de medición, los cuales son el grado (°) y el radián (π). Una circunferencia medida en grados esta dada por 360 unidades, mientras que medida en radianes es equivalente a 6.2832 unidades aproximadamente, ya que el radián comprende la longitud de dos radios en una circunferencia que forman un ángulo y el arco de dicho ángulo, el cual debe tener la misma longitud del radio. 
La medición de ángulos tiene aplicación en varias áreas de trabajo como el diseño, la confección, técnicas mecánicas, construcción y muchas más. No solo la geometría utiliza la medición de dichos cuerpos, también hay ciencias independientes como la física que la utiliza en suma de vectores, por mencionar un ejemplo.
Otra aplicación independiente de las citadas con anterioridad es el sentido de orientación para algunos transportes como los aéreos y marítimos. Por ejemplo, en una torre de control de aeropuerto además de coordenadas, se usan grados para ordenar una dirección o inclinación de las naves

JUEGO MATEMÁTICO...

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LA SABIDURÍA... REGALO DE DIOS

Proverbios 2:6-7

Reina-Valera 1960 (RVR1960)

6 Porqué Jehová da la Sabiduría, 
Y de Su boca Viene el Conocimiento y la Inteligencia.

7 El ProVee De sana SABIDURIA A Los rectos; 
Es escudos a Los Que caminan rectamente.

La llamada a “Guardar” el corazón  es una llamada a “ CONTROLAR  “ todo lo que fluyen o brotan de  lo más profundo de nuestro ser, ya que INFLUYE positivamente, pero también NEGATIVAMENTE tanto en nuestra vida personal, como en nuestra relación con Dios y también con los demás

Dice Salomón: La sabiduría y el buen juicio(cordura)viven juntos(8:12)  Ayudan a mantener UNA  Vida EQUILIBRADA  
b.-).- Para ser sabios debemos Vigilar nuestra Comunicación(cuidar nuestra boca vs 24)
a).- Debemos SEPARAR de nuestro vocabulario todo aquello  que sean críticas, ofensas mal intencionadas, calumnias “Perversas”  (vs 24A) – (Prov.10:31)
Dicho de otra manera “ La Boca del sabio habla VERDAD, más la del necioMALDAD  es despreciada”..

b).- Debemos ALEJAR (distanciarnos)del vocabulario de los incrédulos(iniquidad- en el sentido de pecado)(vers 24B)   
INTERESANTE: Proceso 1º. Separar  y 2º.- Alejar

Enseñanza para nosotros

Es una llamada a  “RECHAZAR”  determinada “forma de hablar” para que  no se NOS PEGUE. Con FACILIDAD.(Pr 26:4)  
3º.- La Sabiduría hay que Retenerla 25-26-27
 
Dios llama bienaventurados a aquellos que RETIENEN LA SABIDURÍA,(Pr 3:18). Podemos considerar que :
a) Para ser sabios debemos Vigilar nuestra Percepción Visual(vs 25) vs 25). .Vigilar como utilizamos nuestra capacidad visual en relación a nuestra conducta.    
La percepción visual: Es la Capacidad de captar la realidad que nos rodea . 
a).- Ser Sabios A través de Mantener una Visión clara de la Voluntad de Dios (vs 25A) “ A través de la OBEDIENCIA.  
b).- Ser sabios Manteniendo los Ojos bien Abiertos (vers 25B)

Enseñanza para nosotros

Es una Llamada a ser BUENOS OBSERVADORES y estar  EXPECTANTES (Pr 6:4)
 
b).- Para Retener la Sabiduría debemos Vigilar nuestra Conducta (26 y 27)
El discernimiento espiritual Es la capacidad de tomar decisiones  que están en armonía con la Voluntad de Dios.
Vers 26:  ¿ Donde pisamos y Como pisamos?.  En otras palabras:

Examina “la senda”. El camino por el que estás llevando tu vida
Es una llamada a EVALUAR ¿Qué decisiones tomamos y Como las llevamos a cabo? De ahí la importancia del retener la Sabiduría para  saber Discernir “lo Correcto”   
¿ Porqué es importante hacerlo?(Pr. 5:21) Dios también nos evalúa 
Vers 27: No basta solo en tomar decisiones SABIAS, se deben llevar a cabo también SABIAMENTE.
En la vida cristiana “Buscar los atajos y el camino fácil”, no nos proporciona ninguna ventaja, sino todo lo contrario “Hay que RECTIFICAR  o lo que es lo mismo volver atrás al punto de partida  y comenzar de nuevo”.
Es una LLAMADA a EVITAR DESVIARSE. A no llevar una vida mundana como la que lleva EL NECIO. (Pr.3:35)
La Sabiduría nos hace tener UNA VISION CLARA de ¿Cuál es nuestra meta en la vida ? Y nos proporciona EL DISCERNIMIENTO  para ALCANZARLA 
El que actúa con Sabiduría RECIBE bendición de Dios ( Pr.3:13-15)
Recordemos que la SABIDURÍA hemos de:
1).- Hemos de HALLARLA
2).- HEMOS DE ADQUIRIRLA

3).- HEMOS DE APLICARLA

4).- HEMOS DE RETENERLA  

La conclusión a la que la Palabra de Dios nos lleva es que: La Dirección que tome tu vida, mi vida, dependerá en gran parte de cómo 1).- Busque -  como  2).- Adquiera, como 3).- Aplique y como 4).- Retengamos para nuestra vida la Sabiduría de Dios

LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS...